讨论广义MUSCL格式 $$U_{j}^{n+1} = U_{j}^n - \lambda \left(\hat{f}(U_j^n +\frac{h}{2}S_j^n, U_{j+1}^n - \frac{h}{2}S_{j+1}^n)-\hat{f}(U_{j-1}^n +\frac{h}{2}S_{j-1}^n, U_{j}^n - \frac{h}{2}S_{j}^n \right)$$ 的局部截断误差和TVD性质, 其中\(\lambda = \tau/h\), $$ S_j^n = \mathrm{minmod}\left(\frac{U_{j+1}^n - U_{j}^n}{h}, \frac{U_{j}^n - U_{j-1}^n}{h}\right). $$ 这里，二元函数minmod的定义为, $$ \mathrm{minmod}(a, b) = \begin{cases} a, \quad ab \gt 0, |a| \le |b|,\\ b, \quad ab \gt 0, |a| \ge |b|,\\ 0, \quad ab \le 0. \end{cases} $$
并且设\(\hat{f}(u_1,u_2)\)是和物理通量\(f(u) = au\)相容的迎风数值通量, 即\(\hat{f}(u_1, u_2) = au_1\).
不妨假设\(a>0\), 即考虑如下格式
$$U_{j}^{n+1} = U_{j}^n - a\lambda \left(U_j^n +\frac{h}{2}S_j^n -U_{j-1}^n -\frac{h}{2}S_{j-1}^n\right).$$
\(a<0\)情形推导类似，这里省略.
讨论局部截断误差
数值格式改写为 $$\frac{U_{j}^{n+1} - U_{j}^n}{\tau} + a\frac{U_j^n - U_{j-1}^n}{h} +\frac{a}{2}(S_j^n - S_{j-1}^n) = 0.$$
设 \(u(x,t)\) 是一光滑函数并满足\(u(x_j, t^n) = U_j^n\). 记 \(u_j^n = u(x_j, t^n)\), \(s_{j}^n = \mathrm{minmod}((u_{j+1}^n - u_{j}^n)/h, (u_{j}^n-u_{j-1}^n)/h)\), 则局部截断误差为 $$ \begin{aligned} T_{j}^{n} &= \frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\tau} + a\frac{u_{j}^{n} - u_{j-1}^{n}}{h} +\frac{a}{2}(s_{j}^{n} - s_{j-1}^{n}) - (u_{t} + a u_{x})(x_j, t^n)\\ & = \frac{\tau}{2}u_{tt}(x_j, t^n) - \frac{h}{2}au_{xx}(x_j,t^n)+ \frac{h^2}{6}au_{xxx}(x_j,t^n)+ \frac{a}{2}(s_j^n - s_{j-1}^n)+ O(\tau^2 + h^3). \end{aligned} $$
下面对\(s_j^n, s_{j-1}^n\)可能的取值情况，分情况讨论。
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\(s_j^n = 0, s_{j-1}^n = 0\).
此时，
$$T_j^n = \frac{\tau}{2}u_{tt}(x_j, t^n) - \frac{h}{2}au_{xx}(x_j,t^n) + O(\tau^2 + h^2).$$
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\(s_j^n = 0, s_{j-1}^n = \frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h}\),
此时, $$ s_{j-1}^n = u_x(x_j, t^n)- \frac{h}{2}u_{xx}(x_j, t^n) + \frac{h^2}{6}u_{xxx}(x_j,t^n) + O(h^3)$$ 所以 $$ \begin{aligned} T_j^n & = \frac{\tau}{2}u_{tt}(x_j, t^n)- \frac{1}{2}au_x(x_j,t^n)- \frac{h}{4}au_{xx}(x_j,t^n)+ \frac{h^2}{12}au_{xxx}(x_j,t^n)+ O(\tau^2 + h^3) \end{aligned} $$ 看似由于\(-\frac{1}{2}a u_{x}(x_j,t^n)\)这项，\(T_{j}^{n} = O(1)\).
但是注意到假设 \(s_j^n = 0\)意味着\((u_{j+1}^n - u_{j}^n)(u_{j}^n - u_{j-1}^n) < 0\). 由Lagrange中值定理，则存在\(p_1 \in (x_{j-1}, x_{j}), p_2 \in (x_{j}, x_{j+1})\), 使得\(u_{j} - u_{j-1} = u_x(p_1)h,,u_{j+1} - u_{j} = u_x(p_2)h\). 故有\(u_x(p_1)u_x(p_2)h^2 < 0\).
再由连续函数的介值定理，则知存在\(p_0 \in (p_1, p_2) \subset (x_{j-1}, x_{j+1})\), 使得 \(u_{x}(p_0) = 0\). 所以，\(u_x(x_j,t^n) = u_{xx}(x_0, t^n)(x_j - x_0) + O((x_j - x_0)^2)\). 故此时截断误差实际上有,
$$ \begin{aligned} T_j^n & = \frac{\tau}{2}u_{tt}(x_j, t^n)- \frac{1}{2}au_{xx}(x_0, t^n)(x_j - x_0) - \frac{h}{4}au_{xx}(x_j,t^n)+ \frac{h^2}{12}au_{xxx}(x_j,t^n)\\ &\quad+ O(\tau^2 + h^3)+ O((x_j - x_0)^2)\\ & = O(\tau + h) \end{aligned} $$
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\(s_j^n = \frac{u_{j+1}^n - u_{j}^n}{h}, s_{j-1}^n = \frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h}\)
此时 $$\frac{1}{2}(s_j^n - s_{j-1}^n) = \frac{h}{2} u_{xx}(x_j, t^n) + \frac{h^3}{24} u_{xxxx}(x_j, t^n) +O(h^5) $$ 所以, $$ \begin{aligned} T_j^n & = \frac{\tau}{2}u_{tt}(x_j, t^n)+ \frac{h^2}{6}au_{xxx}(x_j,t^n)+ O(\tau^2 + h^3)\\ & = O(\tau + h^2) \end{aligned} $$
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\(s_j^n = \frac{u_{j+1}^n - u_{j}^n}{h}, s_{j-1}^n = \frac{u_{j-1}^n - u_{j-2}^n}{h}\)
由于 $$s_{j}^n = \frac{u_{j+1}^n - u_{j}^n}{h} = u_x(x_j, t^n) + \frac{h}{2} u_{xx}(x_j, t^n) + O(h^2)$$ $$s_{j-1}^n = \frac{u_{j-1}^n - u_{j-2}^n}{h} = u_x(x_j, t^n) - \frac{3h}{2} u_{xx}(x_j, t^n)+ O(h^2)$$ 所以, $$\frac{1}{2}(s_j^n - s_{j-1}^n) = h u_{xx}(x_j, t^n) +O(h^2) $$
$$ \begin{aligned} T_j^n & = \frac{\tau}{2}u_{tt}(x_j, t^n) + \frac{h}{2}au_{xx}(x_j,t^n) + O(\tau^2 + h^2) \end{aligned} $$ 但值得注意的是, \(s_j^n = \frac{u_{j+1}^n - u_{j}^n}{h}, s_{j-1}^n = \frac{u_{j-1}^n - u_{j-2}^n}{h}\)意味着\(u_{xx}(x_j,t^n) = O(h)\), 具体解释如下.
此时，由于\(u_{j-1}-u_{j-2}, u_{j} - u_{j-1}, u_{j+1} - u_{j}\)三者同正或同负, 不妨假设三者同正. 同负的情形类似可证. 则由假设 $$u_{j-1}-u_{j-2}< u_{j} - u_{j-1},\quad u_{j} - u_{j-1} > u_{j+1} - u_{j}$$ 以及Langrange中值定理知, 存在 \(q_k \in (x_{j-2+k}, x_{j-1+k}), k=0,1,2\), 使得 $$ u_{x}(q_0, t^n)\lt u_x(q_1, t^n),\quad u_{x}(q_1, t^n)\gt u_x(q_2, t^n).$$ 故存在\(q_3 \in (p_0, p_1), q_4 \in (p_1, p_2)\),有 $$u_{xx}(q_3,t^n) >0 , u_{xx}(q_4, t^n)<0.$$ 故存在\(q_5 \in (p_3, p_4)\), 有\(u_{xx}(q_5, t^n) = 0\). 所以 $$u_{xx}(x_j, t^n) = u_{xxx}(p_5,t^n)(x_j - q_5) = O(h).$$ 所以此情形下, \(T_j^n = O(\tau + h^2)\).
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其余情形，做法类似.
上述结果总结为下表，
| 截断误差 | \(s_j^n = \frac{u_{j+1}^n - u_{j}^n}{h}\) | \(s_j^n = \frac{u_{j}^n - u_{j-1}^n}{h}\) | \(s_j^n = 0\) |
|---|---|---|---|
| \(s_{j-1}^n = \frac{u_{j}^n - u_{j-1}^n}{h}\) | \(O(\tau + h^2)\) | \(O(\tau + h^2)\) | \(O(\tau + h)\) |
| \(s_{j-1}^n = \frac{u_{j-1}^n - u_{j-2}^n}{h}\) | \(O(\tau + h^2)\) | \(O(\tau + h^2)\) | \(O(\tau + h)\) |
| \(s_{j-1}^n = 0\) | \(O(\tau + h)\) | \(O(\tau + h)\) | \(O(\tau + h)\) |
注：上表的结果表明，格式的截断误差一般是\(O(\tau + h^2)\)的，但是在极值点附近，截断误差只有\(O(\tau + h)\).
讨论TVD性质
考虑使用如下结论，推导格式TVD的充分条件.
格式 $$ U_j^{n+1} = U_j^n - C_{j-1/2}(U_j^n - U_{j-1}^n) + D_{j+1/2}(U_{j+1}^n - U_{j}^n)$$ 具有TVD性质的一个充分条件是, 对于任意 \(j\), $$ \begin{aligned} C_{j-1/2} \ge 0,\\ D_{j+1/2} \ge 0,\\ C_{j+1/2} + D_{j+1/2} \le 1. \end{aligned} $$
所以，当\(U_j^n \ne U_{j-1}^n\)时，考虑将原有格式改写为 $$ \begin{aligned} U_j^{n+1} &= U_j^n - a\lambda \frac{U_j^n +\frac{h}{2}S_j^n -U_{j-1}^n -\frac{h}{2}S_{j-1}^n} {U_j^n - U_{j-1}^n} (U_j^n - U_{j-1}^n)\\ &=U_j^n - a\lambda \left(1 + \frac{1}{2}\frac{hS_j^n - hS_{j-1}^n}{U_j^n - U_{j-1}^n}\right) (U_j^n - U_{j-1}^n),\\ \end{aligned} $$ 而当\(U_j^n = U_{j-1}^n\)时, 根据定义\(S_j^n = S_{j-1}^n = 0\), 有 $$U_j^{n+1} = U_j^{n}.$$
综上，格式改写为 $$ U_j^{n+1} = U_j^n - C_{j-1/2} (U_j^n - U_{j-1}^n), $$ 其中，
$$ C_{j-1/2} = \begin{cases} a\lambda \left(1 + \frac{1}{2} \frac{hS_j^n - hS_{j-1}^n}{U_j^n - U_{j-1}^n}\right), &\quad U_j^n \ne U_{j-1}^n,\\ 0, &\quad U_j^n = U_{j-1}^n. \end{cases} $$
现考虑在使得\(0\le C_{j-1/2}\le 1\)的条件.
当\(U_j^n \ne U_{j-1}^n\)时，注意到根据minmod的定义， $$ 0 \le \frac{hS_j^n}{U_j^n - U_{j-1}^n} \le 1,\quad 0 \le \frac{hS_{j-1}^n}{U_j^n - U_{j-1}^n} \le 1, $$ 所以有 $$ \frac{1}{2}a\lambda \le C_{j-1/2} \le \frac{3}{2}a\lambda. $$
综上，当\(a\lambda \le \frac{2}{3}\)时，\(0\le C_{j-1/2}\le 1\)， 所以格式是TVD的.