设定义在 \((-1,1) \times \mathbb{R}_{+}\) 上的方程 \(u_t = u_{xx}\) 的周期初边值问题的初值 \(u^0\) 可以展开成Fourier级数 \(u^0(x) = \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k e^{ik \pi x}\), 且有\(\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty}|a_k|<\infty\), 又设 \(U\) 是显式差分格式
$$ \begin{aligned} &\frac{U_j^{m+1} - U_j^m}{\tau} = \frac{U^m_{j+1} - 2U^m_{j} + U^{m}_{j-1}}{h^2} \end{aligned} $$
的解，则当网格比 \(\mu = \frac{\tau}{h^2} \le \frac{1}{2}\)时, 对于任给的 \(t_{\max} >0\), 都有
$$ \lim_{\tau \to 0} \Vert e \Vert_{\infty} = 0. $$
参考证明
假设原方程的解形如
$$
u(x,t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{ik \pi (x-\omega_k t)},
$$
代入原方程得 \(\omega_k = -ik\pi\). 而对于数值解有，
$$
U_j^m = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k \lambda_k^m e^{ik \pi jh}
$$
其中\(\lambda_k = 1-4\mu \sin^2 \frac{k\pi h}{2}\). 所以对于误差
\(e_j^m\)有
$$
\begin{aligned}
e_j^m = U_j^m - u(x_j, t_m) =
\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k e^{ik \pi jh} \left(\lambda_k^m - e^{-k^2\pi^2m\tau}\right).
\end{aligned}
$$
注意到， $$ \begin{aligned} \left\vert\lambda_k - e^{-k^2\pi^2\tau}\right \vert = & \left\vert 1-4\mu \sin^2 \frac{k\pi h}{2} - e^{-k^2\pi^2\tau} \right \vert\\ = & \left\vert 1 - 2\mu(1 - \cos(k\pi h)) - e^{-k^2\pi^2\tau} \right \vert\\ = & \left \vert 1 - 2\mu \left(\frac{1}{2}(k\pi h)^2 - \frac{1}{24}(k\pi h)^4 + O(k^6h^6) \right) -(1 - k^2\pi^2\tau + \frac{1}{2}k^4\pi^4\tau^2 + O(k^6 \tau^3)) \right \vert\\ = & \left| \frac{1}{12}\mu (k\pi h)^4 - \frac{1}{2}k^4 \pi^4 \tau^2 + O(k^6 \tau^3) \right|\\ \le & \left(\frac{1}{12\mu} + \frac{1}{2}\right)k^4\pi^4 \tau^2 + O(k^6 \tau^3)\\ \le & C(\mu)k^4\tau^2 \end{aligned} $$
其中 \(C(\mu)\) 表示和 \(\mu\) 有关的某个常数. 最后一个不等式的成立需要\(k,\tau\)有界. 故结合 \(\mu \le \frac{1}{2}\) 时, \(\vert \lambda_k \vert \le 1\), 则有 $$ \begin{aligned} \vert \lambda_k^m - e^{-k^2\pi^2m\tau}\vert & \le m \left\vert\lambda_k - e^{-k^2\pi^2\tau}\right \vert\\ & \le m C(\mu) k^4 \tau^2\\ & \le t_{\max} C(\mu) k^4 \tau. \end{aligned} $$
所以对于 \(\forall \epsilon > 0\), 可以选择足够大的\(N\), 使得 $$ \sum_{|k|>N} |a_k| < \frac{\epsilon}{4}, $$
则， $$ \begin{aligned} |e_j^m| &\le \sum_{k=-\infty}^{\infty} \vert a_k \vert \left \vert \lambda_k^m - e^{-k^2\pi^2m\tau}\right \vert\\ & = \sum_{\vert k \vert \le N} \vert a_k \vert \left \vert \lambda_k^m - e^{-k^2\pi^2m\tau}\right \vert + \sum_{\vert k \vert > N} \vert a_k \vert \left \vert \lambda_k^m - e^{-k^2\pi^2m\tau}\right \vert\\ & \le \sum_{\vert k \vert \le N} \vert a_k \vert t_{\max} C(\mu) k^4 \tau + \sum_{\vert k \vert > N} 2\vert a_k \vert\\ & \le \sum_{\vert k \vert \le N} \vert a_k \vert t_{\max} C(\mu) k^4 \tau + \frac{\epsilon}{2}\\ \end{aligned} $$
故当\(\tau\)足够小时，例如 $$\tau \le \tau_0 := \frac{\epsilon}{2 \left(\displaystyle \sum_{\vert k \vert \le N} \vert a_k \vert \right) t_{\max} C(\mu) N^4} $$ 时，有\(|e_j^m| < \epsilon\). 证毕.